Departement de Mathématique

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    Etude spectrale des opérateurs de schroidinger avec champ magnétique
    (2007) MEFTAH Mokhtar
    De nombreux travaux se sont intéressés à ces opérateurs, tant en physique théorique, qu’en mathématique, en considérant des cas particuliers avec des potentiels bien précis, surtout dans le cas de l’inexistence de potentiel magnétique, on citera à titre d’exemple les travaux de [Ag],[Ka],[Ag],[Ch],[La-Li], [Pe] et d’autres auteurs qui se sont intéressés à des cas qu’on considérera comme des cas particuliers. D’autres travaux se sont intéressés aux opérateurs de type de Schrödinger avec champ magnétique, pour la plupart de ces travaux, il s’agissait de prendre des potentiels électrique et magnétique précis, ces potentiels étant donné par des expériences ou des phénomènes physiques, et d’étudier alors le spectre d’un tel opérateur. D’autres travaux mathématiques ont commencé alors à donner un sens à tous ses résultats physiques, et à essayer de mettre un formalisme à toutes ses observations. On citera là aussi à titre d’exemple [Ka], [A-H-S], [CDV], [Bi-So], [Ho], [Hu], et plus récemment [He],[H-M] , [H-R], [H-N], [Iw], [Du]. Ces auteurs ont donnés soit des conditions suffisantes sur les potentiels électriques et magnétiques pour que le spectre de l’opérateur de Schrödinger soit discret, constitué de valeurs propres de multiplicité finie, sinon dans le cas de l’existence du spectre essentiel, d’en donner la borne inférieure. Dans [Iw], on retrouve des conditions nécessaires pour la compacité de la résolvante d’un opérateur de Schrödinger avec champ magnétique, ces conditions portant alors sur le champ magnétique de l’opérateur. Notre but était alors de réduire l’écart entre les conditions nécessaires et celles suffisantes pour la compacité de la résolvante.