Sur les opérateurs normaux non-bornés
Sur les opérateurs normaux non-bornés
Fichiers
Date
2011-07-03
Auteurs
BENALI Abdelkader
Nom de la revue
ISSN de la revue
Titre du volume
Éditeur
Université Oran1 Ahmed Ben Bella
Résumé
Dans ce mémoire, on s.intéresse aux opérateurs normaux non-bornés, en particulier les produits d'opérateurs normaux. Cette question est l.une des plus fondamentales dans la théorie des espaces de Hilbert. La question est que si N et M sont normaux, quand-est-ce qu'on a NM normal ?.Dans le cas borné, c.est très simple, la réponse est positive dès que N et M. commutent avec une application du fameux théorème de Fuglede-Putnam. Dans le cas non-borné, ça devient un peu plus délicat, mais ça reste vraie si l'un des opérateurs est unitaire (et l'autre est normal non-borné) utilisé toujours par Fuglede-Putnam. L'un des principaux objectifs de ce mémoire est de généraliser le théorème suivant :Théorème de Kaplansky : Soient A et B deux opérateurs bornés sur un espace de Hilbert, tels que AB et A sont normaux. Alors : A_AB = BA_A () (BA) est normal. La généralisation naïve de ce théorème au cas non-borné ne donne pas le résultat souhaité comme on va le voir par un contre-exemple dans le chapitre 4.Cette généralisation sera possible en imposant l'hyponormalité de l'un des produits voir [17] en revenant au Théorème de Kaplansky, on remarque que si A est unitaire, alors AB normal , BA normal. Introduction 1Ce même résultat est généralisé au cas où B est normal non-borné voir encore [17] : les preuves utilisées le fameux Théorème de Fuglede-Putnam et la propriété de symétrique maximale des operateurs auto-adjoints non-bornés. Ce mémoire est divisé en 4 chapitres. Le premier est la présente de l'introduction. Dans le deuxième chapitre, on rappellera les notions et définitions de base sur la théorie des espaces de Hilbert et des opérateurs bornés. Dans le troisième chapitre, quant à lui, il est consacré aux opérateurs normaux ainsi qu'une version du théorème spectral.On y trouve aussi le fameux et très pratique théorème de Fuglede-Putnam(version borné et non-borné).Dans le dernier chapitre, on donnera la définition des opérateurs hyponormaux bornés et non-bornés,on y trouvera aussi des résultats sur les produits d'opérateurs, le tout est accompagné d'exemples et contre-exemples intéressants. On termine par des perspectives de la recherche ainsi que la bibliographie.
Description
Mots-clés
Produit scalaire, Opérateur linéaire, Espace de Hilbert, Opérateurs bornés, Opérateur unitaire, Opérateurs fermés, Opérateur normale, Hyponormaux, Subnormal, Théorème de Fuglede-Putnam, Théorème de kaplansky